Weźmy dla przykładu liczbę \(9\). Mnożąc \(3\) przez \(3\) dostajemy liczbę \(9\).
A co z liczbą \(16\)? Mnożąc \(4\) przez \(4\) dostajemy liczbę \(16\).
Dzisiaj powiemy, że pierwiastek z liczby \(9\) to \(3\), a pierwiastek z liczby \(16\) to \(4\).

Ale skąd to dziwne słowo pierwiastek?
Matematyczna terminologia często zapożyczała ze zjawisk przyrody i codziennego życia.
Słowo pierwiastek pochodzi od angielskiego słowa root (korzeń), które z kolei było tłumaczeniem arabskiego jadhir.

Określenia „korzeń” używano metaforycznie, aby opisać podstawową wartość, z której wywodzi się inna liczba. Dla liczby \(16\), pierwiastkiem (czyli „korzeniem”) jest \(4\), ponieważ mnożąc \(4\) przez \(4\) otrzymujemy \(16\). A zatem powiemy, że korzeniem/źródłem/podstawą/pierwszeństwem liczby \(16\) jest liczba \(4\), bo \(4 \cdot 4 = 16\).

arabskie jadhir → łacińskie radix → angielskie root → staropolskie pierwiastek

Ile wynosi pierwiastek z liczby \(100\)?

Pierwiastek z liczby \(400\) wynosi?

Podstawy zostały przećwiczone i pochodzenie nazwy poznane. Super.

Ale skąd wziął się ten dziwny symbol pierwiastka?

Powiemy, że pierwiastek z \(16\) wynosi \(4\). Zapiszemy to skrótowo jako \(\sqrt{16}=4\). Wśród historyków matematyki nie ma jasnego konsensusu co do pochodzenia symbolu pierwiastkowania.

Przedstawię najprawdopodobniejszą wersję, zatem wybierzmy się do Niemiec. W bibliotece w Dreźnie znaleziono zapiski matematyczne pochodzące z około 1480 roku. Korzystając z przyjętej tam konwencji, aby oznaczyć „pierwiastek z \(16\) równa się \(4\)”, czyli \(\sqrt{16}=4\), autorzy zapisaliby \(.16=4\). Następnie na Uniwersytecie w Getyndze znaleziono zapiski pochodzące z 1524 roku, gdzie kropka wyewoluowała w coś przypominającego symbole nut ♩, ♪. Stąd już prosta droga do dzisiejszego \( \sqrt{\quad} \), które około \(250\) lat później było powszechnie stosowane.

Inni autorzy twierdzą, że symbol pierwiastka \( \sqrt{\quad} \) pochodzi od zapisu \(r16=4\), który również można spotkać w pismach z tamtych czasów. Literka \(r\) pochodziła najpewniej od łacińskiego radix.

Sprostuję jeszcze, że w tych zapiskach nigdzie nie występował symbol równości \(=\), który został spopularyzowany dopiero w 18. wieku. Ale to opowieść na inny raz.

Jesteś gotów na coś trudniejszego! Ale zanim to, podsumujmy, że: pierwiastek z \( 9\) to \( 3 \), bo \( 3 \cdot 3=9 \). Pierwiastek z \( 16\), bo \( 4 \cdot 4=16 \). Skrótowo: \(\sqrt{9}=3\) oraz \(\sqrt{16}=4\).

Jak myślisz, ile wynosi \( \sqrt{144} \), który można też zapisać jako \( \sqrt{9 \cdot 16} \)? Gdyż oczywiście \( 144=9 \cdot 16 \).

Podsumujmy to odkrycie.

\(\sqrt{144} = \sqrt{9 \cdot 16} = 3 \cdot 4 = 12\).

Prawidłowość tutaj odkryta mówi, że mnożenie pod pierwiastkiem \(\sqrt{9 \cdot 16}\) można rozbić na dwa pierwiastki: \(\sqrt{9 \cdot 16}=\sqrt{9} \cdot \! \sqrt{16} = 3 \cdot 4 = 12\).

Czyli ogólnie rzecz biorąc \(\sqrt{x \cdot y} = \sqrt{x} \, \cdot \) \( \! \sqrt{y} \) .

Zawsze powtarzałem, że tablice maturalne na maturę z matematyki są bez sensu, skoro ktoś dobrze przygotowany i tak wie, skąd dane rzeczy się biorą. A jak ktoś nie jest przygotowany, i tak nic nie wymyśli z tablic. Idealista kończy dygresję.

Pamiętaj, że \(\sqrt{9} = 3\), \(\sqrt{16} = 4\).

Zobaczmy, ile wynosi \(\sqrt{25}\) czyli \(\sqrt{9 + 16}\). Agata zapisała, że \(\sqrt{25} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{9} + \sqrt{16} = 3 + 4 = 7\). Czyli \(\sqrt{25} = 7\).

Czy rozumowanie Agaty jest poprawne? Wskazówka: odpowiedź sobie na pytanie, czy \(7 \cdot 7 = 25\).

Ponieważ \( 5 \cdot 5=25 \), stąd wynika \( \sqrt{25} = 5\). Agacie wyszło niepoprawnie, że \( \sqrt{25} = 7\). Jesteś coraz bliżej odkrycia, gdzie leży źródło problemu.

Innym razem Agata chciała obliczyć kolejny pierwiastek.

\( \sqrt{500} = \sqrt{100 + 400} = \sqrt{100} + \sqrt{400} = 10 + 20 = 30 \)

Czy rozumowanie Agaty jest poprawne?

Gdzie został popełniony błąd w logice Agaty? Jakie założenia po cichu robiła? Przeanalizujmy powoli.

Problem leży w tych przekształceniach: \( \sqrt{9+16} = \sqrt{9} + \sqrt{16} \) oraz \( \sqrt{100+400}=\sqrt{100} + \sqrt{400} \). Takie przekształcenie wygląda niezwykle kusząco. Jednakże, wnioski ze śledztwa są takie, że takowa zamiana nie daje poprawnego wyniku.

Jakie stąd ogólne wnioski? Mając dwie liczby \(x\) i \(y\), możemy zapisać, że \( \sqrt{x \cdot y}= \sqrt{x} \, \cdot \) \( \! \sqrt{y}\) natomiast niestety \( \sqrt{x+y} \neq \sqrt{x} + \! \sqrt{y} \).

W ten sposób można odkryć właściwości pierwiastkowania.

Moją misją jest zmienić edukację matematyki i fizyki na właśnie taką — angażującą. Ciekawą. Otwierającą oczy. Dokładnie na taką, jaką była dla tych, którzy ją odkrywali setki lat temu.

W serwisie sam odkrywasz matematykę — nie jest Ci ona dana na złotej tacy.

Powiedzmy, że grając w grę logiczną, ktoś dał Ci wszystkie rozwiązania zagadek - bez sensu. W grze właśnie chodzi o to, aby potestować i zobaczyć, jak różne elementy wchodzą w interakcje ze sobą. W ten sposób tworzymy własną strukturę wiedzy. Serio — inaczej się nie da. Nie da się „otrzymać” struktury wiedzy od kogoś. Trzeba ją stworzyć samemu, co potwierdzają badania neurodydaktyków, które zgłębiam z zamiłowaniem od lat. Od wielu lat pomagają mi tworzyć efektywne procesy edukacyjne.

Po co w ogóle zastanawiać się nad takimi rzeczami? Po co to komu potrzebne? Matematyka uczy logicznego myślenia. Oczywiście nie tylko matematyka. Osobiście uważam, że ciekawie przygotowana przygoda matematyczna jest bardzo angażująca i ciągle daje poczucie progresji. Niczym levelowanie postaci i odblokowywanie nowych umiejętności w grze.

Proces nauki serwisu oparty jest na jednej prostej zasadzie: wiedza następna wynika z poprzedniej. Podobnie jak w życiu, nie nauczysz się zaawansowanych umiejętności, jeśli nie masz opanowanych podstawowych.

Tak samo jak w grach, nie nauczysz się miotać piorunami, jeśli w ogóle nie masz opanowanej umiejętności panowania nad elektrycznością. (Przepraszam graczy za tandetny przykład, ale chcę, aby niegracze także zrozumieli!) Twórcy tak projektują poziomy w grze, że w momencie odblokowania nowej umiejętności dają Ci odpowiednie wyzwania, by sprawdzić, czy wiesz jak z nich korzystać. Powiem szczerze — aż czasem naprawdę łapię się za głowę, że nikt wcześniej nie wymyślił, aby te mechanizmy przenieść do nauki matematyki i fizyki! Ta „gamifikacja” nie jest uatrakcyjnieniem na siłę i mydleniem oczu. Drzewko rozwoju fizyki, sprawia, że śledzisz swoje postępy i upewniasz się, że rozumiesz, z jakiego poprzedniego działu wiedzy wynika nowy. Podsumowując zyskasz głębokie zrozumienie procesów fizycznych poprzez sprytnie i starannie zaprojektowany proces.

Może zrodziło Ci się w głowie to pytanie... „Po co mi te pierwiastki przydadzą się życiu?” Z takim podejściem na pewno nie znajdziesz żadnego zastosowania pierwiastków. (Ja każdego dnia otwieram wielki plik, gdzie zapisuje się pomysły na ciekawe zadania z fizyki i matematyki na podstawie codziennych obserwacji.) Ale tak czy siak, nie w tym rzecz! Tak jak pisałem wyżej, matematyka uczy logicznego i systemowego myślenia. Jeśli nie zamierzasz zostać matematykiem na uczelni albo edukatorem, to matematyka (poza dodawaniem czy procentami) absolutnie do niczego Ci się nie przyda. Tego typu słuszne pytania rodzą się na wskutek chęci podważenia zasadności uczestnictwa w nudnym i nieatrakcyjnym procesie edukacyjnym (np. 20 lat temu w mojej podstawówce nr 21 w Lublinie).

Moim celem jest dotarcie do największej liczby osób, którzy chcą nauczyć się myśleć logicznie i systemowo. Ciężko mi nawet opisać, ile spokoju i kontroli dała mi ta umiejętność, szczególnie jeśli chodzi o naukę zupełnie nowych rzeczy np. montaż wideo albo pisanie scenariuszy. Serwis dostarcza proces, który stwarza środowisko do nauki i przy okazji jest niezwykle angażujący (wręcz uzależniający!). A w razie pytań jestem dostępny na forum albo podczas comiesięcznym sesji Q&A na żywo. Nie jest to wszystko tak suche, sztywne, akademickie jak Khan Academy czy typowo szkolne zbiory zadań. Prometeusze Fizyki to serwis edukacyjny... z pazurem! Wyobraź sobie, że szkoły są od dziś nielegalne - tysiące osób wciąż by przychodziło tutaj, aby uczyć się, bo jest to tak fajne! Zrzućmy z siebie to przekonanie, że nauka musi być żmudna, jednokierunkowa (nauczyciel na środku klasy -> cicho siedzący uczniowie i oparta tylko o słuchanie! Czy tysiące osób poszłoby z własnej woli i kupiło papierowe zbiory zadań do fizyki? Bardzo mała garstka tak - to po prostu mówi, że ludzie nie mają przystępnego środowiska do nauki! Zmieniaj status quo ze mną!

Moim celem jest tworzenie i rozwijanie tego angażującego środowiska do nauki. Człowiek nie działa tak, że będzie coś robił, bo „musi”. Musi jedynie widzieć cel w tym, co robi. W serwisie jest także dostępny moduł psychoedukacyjny tzw. „poziom 0”, gdzie odkryjesz: swój typ osobowości, ważne dla siebie wartości oraz cele. Czy masz podejście responsywne czy adaptywne?

Sam byłem w procesie tutoringowym podczas 4 letnich studiów magisterskich w Oxfordzie, a dodatkową wiedzę w tych tematach zdobywałem między innymi w Collegium Wratislaviense podczas kursu tutoringowego. Solidna podstawa skutecznej nauki to odkrycie, jak lubisz się uczyć i co Cię motywuje do działania. Ten moduł jest na bieżąco uzupełniany nowymi treściami zgodnie z potrzebami użytkowników platformy.

Wróćmy jeszcze do jednej rzeczy. Ile wynosi ten \( \sqrt{500}\)? Rozumowanie Agaty dało \(\sqrt{500}=30\), ale oczywiście \(30 \cdot 30\) równa się \( 900 \), a nie \(500\). Zanim przejdziesz dalej, spróbuj strzelić albo skorzystać z kalkulatora: jakie dwie takie same liczby przemnożone przez siebie dadzą nam \(500\)?

Poeksperymentujmy.

\( 22 \cdot 22=484 \)
\(23 \cdot 23=529 \)
\( 22,\! 5 \cdot 22,\!5=506,\!25 \)
\( 22,\!25 \cdot 22,\!25=495,\!0625 \)

Kurczę, trochę ciężko. Na pewno \( \sqrt{500}\) jest liczbą pomiędzy \( 22 \) a \( 23 \).

Spójrzmy na problem trochę z innej strony.

Wyobraź sobie, że mamy kwadratową działkę o polu \( 500 \, \mathrm{m^2} \). Aby obliczyć pole kwadratu, wystarczy pomnożyć długość jednego boku przez długość sąsiedniego boku.

\( a \cdot a=500 \), czyli \( a=\sqrt{500}\)

Jaki jest bok tej działki? Właśnie tutaj pojawia się problem... jest to jakaś liczba pomiędzy \( 22 \) a \( 23 \). Ta działka istnieje, więc ten bok także musi istnieć!

Cóż, jak to wszystko działa? To długa historia, powiem tylko, że tutaj jesteś na tropie odkrycia nowego typu liczb. Wpisując w kalkulator \( \sqrt{500} \) dostajemy PRZYBLIŻENIE \( 22,\!36 \)…

Ile wynosi DOKŁADNA wartość?

Właśnie nad tym problemem zaczęli zastanawiać się starożytni Grecy. O tych liczbach mówili, że są „niewyrażalne” — nazwa ma sens, nie powiem, że nie! Dziś mówimy na nie liczby niewymierne. Zrobiłem o tym kiedyś długi dokument na moim kanale na YT.

PS. Proszę o wyrozumiałość, zrobiłem to dawno temu, a od tego czasu nauczyłem się mnóstwo o produkcji wideo.

W powyższej eksploracji odkryłeś/aś i ćwiczyłeś/aś dwie prawidłowości na temat obliczania pierwiastków.